Τετάρτη, 15 Οκτωβρίου 2008

ΠΑΛΙΕΣ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Κασαμπαλής Χαράλαμπος
Καθηγητής 3ου ΓΕΛ Γιαννιτσών

Κίνητρο ή αφορμή για την ενασχόληση με το θέμα


Επειδή η Ιστορία των αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών είναι ο αρχαιότερος κλάδος όχι μόνο των Μαθηματικών αλλά της Ιστορίας των επιστημών συνολικά, πρέπει να εξετάζεται στη σύγχρονη εποχή μας με προβληματισμό με αμφισβητήσεις χωρίς υποθετικές εκδοχές, και με συστηματικές μεθόδους επιστημονικής έρευνας.
Έτσι όλες οι προσπάθειες που έγιναν ως τώρα τουλάχιστον τα 150 τελευταία χρόνια παρουσιάστηκαν συστηματικά τάσεις αντικρουόμενες ονομαζόμενες νέες διαμάχες για την Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών. Επίσης όλα τα κείμενα που σώζονται τα ίδια αποτελούν μάλλον σχόλια ποικίλων ειδών για τα μαθηματικά παρά Ιστορία με την αυστηρή σημασία του όρου. Έτσι οι διάφορες διαμάχες του παρελθόντος προϋπάρχουν των νέων στην ερμηνεία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών.
Αρχίζοντας από τις παλιές τάσεις και ξεκινώντας από το έργο της κριτικής έκδοσης των κειμένων που άρχισε τον 19ο αιώνα και συνεχίστηκε και τον 20ο με μερικά πολύ σημαντικά αποτελέσματα όπως η δεύτερη συμπληρωμένη έκδοση των έργων του Αρχιμήδη ( 1910-1915 ) από τον Heiberg που έγινε μετά την ανακάλυψη του παλίμψηστου κώδικα της Κων/πόλης 1906, η μνημειώδης μελέτη και έκδοση του συνόλου της αραβικής και λατινικής παράδοσης του Αρχιμήδη από τον Μ.Clagett (1964-1984),η ανακάλυψη και η έκδοση των αραβικών μεταφράσεων μερικών κειμένων των οποίων έχει χαθεί το ελληνικό πρωτότυπο, όπως είναι το Περί πυρίων του Διοκλή από τον G.J.Toomer 1976 και τα βιβλία 4-7 των Αριθμητικών του Διόφαντου από τους J.Sesiano (1982) & R.Rashed1984,η έκδοση παπυρικών κειμένων μαθηματικού, αστρονομικού και αστρολογικού περιεχομένου, προερχόμενων από την Αίγυπτο της ελληνιστικής και ελληνορωμαϊκής περιόδου, από τον R.A. Parker (1972), τον A. Jones (1999), κ.ά. Η έρευνα και η έκδοση των κειμένων, λοιπόν, αποτέλεσε και εξακολουθεί να αποτελεί μόνιμη συνιστώσα της έρευνας για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών.
[1]
Πράγματι, στις αφηγήσεις της ιστορίας των αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών - και γενικά των μαθηματικών της αρχαιότητας - διακρίνουμε δύο κύριες μεθοδολογικές τάσεις. Στη μία τάση ανήκουν όλες εκείνες οι αφηγήσεις που προσεγγίζουν τα αρχαία μαθηματικά πρωτίστως από τη σκοπιά του μαθηματικού και δευτερευόντως από τη σκοπιά του ιστορικού. Στην άλλη τάση ανήκουν όσες αφηγήσεις προσεγγίζουν τα αρχαία Μαθηματικά από τη σκοπιά του ιστορικού. Για λόγους συντομίας θα ονομάζουμε το είδος της ιστορίας των μαθηματικών που ανήκει στην πρώτη τάση « παραδοσιακή ιστορία των Μαθηματικών » και το είδος της ιστορίας των μαθηματικών που ανήκει στη δεύτερη τάση « νέα ιστορία των Μαθηματικών ».[2] Οι ονομασίες αυτές απηχούν την ηλικία των δύο τάσεων. Η νέα ιστοριογραφία εμφανίζεται στο προσκήνιο με όλη τη δυναμική μόλις το τελευταίο τέταρτο του 20ου αιώνα. Προβάλλει αιφνιδιαστικά, με τη μορφή ρήξης προς την παραδοσιακή ιστοριογραφία, αρχικά με αφορμή το θέμα της αλγεβρικής ερμηνείας ενός σημαντικού μέρους των Μαθηματικών της κλασικής και ελληνιστικής εποχής και, στη συνέχεια, με τη διατύπωση διαφορετικών αναγνώσεων σε άλλα κεφάλαια της ιστορίας όχι μόνο των ελληνικών αλλά και των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών, καθώς και για μεθοδολογικά ζητήματα για την ιστοριογραφία των Μαθηματικών γενικά. Σε αυτή τη συλλογή δημοσιεύονται τα κείμενα μέσω των οποίων διεξήχθη η πρώτη και πιο σημαντική διαμάχη ανάμεσα στα δύο ιστοριογραφικά ρεύματα, διαμάχη η οποία ανέδειξε και νομιμοποίησε σε μεγάλο βαθμό τη νέα ιστοριογραφία. Η διαμάχη αυτή επικεντρώθηκε μεν σε ένα αρκετά ειδικό θέμα στον υποτιθέμενο, κατά την παραδοσιακή ιστοριογραφία, αλγεβρικό χαρακτήρα ενός τμήματος των Μαθηματικών της κλασικής και Ελληνιστικής περιόδου (δηλαδή των Μαθηματικών του Ευκλείδη, του Απολλώνιου και σε μικρότερο βαθμό του Αρχιμήδη) , ουσιαστικά όμως αποτέλεσε την αφορμή να διατυπωθεί με σαφήνεια η νέα ιστοριογραφική άποψη για το πώς πρέπει να μελετούμε ως ιστορικοί των Μαθηματικών τα μαθηματικά κείμενα του παρελθόντος.
Γι’ αυτή τη συγκεκριμένη διαμάχη χρησιμοποιούμε την έκφραση « διαμάχη για τη ‘‘γεωμετρική άλγεβρα’’». Η « γεωμετρική άλγεβρα», είναι μια ερμηνευτική άποψη για τα αρχαία ελληνικά Μαθηματικά, που πρεσβεύει ότι πίσω από ένα σημαντικό μέρος της ελληνικής γεωμετρίας κρύβεται μια αλγεβρική ερευνητική «ατζέντα», την οποία κληρονόμησαν και ανέπτυξαν οι Έλληνες Μαθηματικοί ήδη από τον 5ο π.Χ. αιώνα. Αυτή η άποψη βασίζεται σε παραδοχές, δηλαδή υποθέσεις, και δεν αποτελούν τεκμηριωμένα γεγονότα στην ιστορία των Μαθηματικών. Έτσι, δεν έχουμε καμία ένδειξη ότι στη διάρκεια του 5ου π.Χ. αιώνα έχουμε συστηματική και μαζική μεταφορά μαθηματικών γνώσεων από τη Μεσοποταμία στην Ελλάδα. Αντίθετα, υπάρχουν σαφείς ενδείξεις ότι τέτοια μεταφορά έγινε πράγματι, αλλά πολύ αργότερα, κατά την ελληνιστική και την ελληνορωμαϊκή περίοδο.
Η ερμηνευτική άποψη λοιπόν της γεωμετρικής άλγεβρας έχει το πλεονέκτημα ότι εξηγεί με μεγάλη συνέπεια, απλότητα και ευκολία πολλές σελίδες των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών και πιο ειδικά παρέχει ένα πολύ ελκυστικό, ιδίως για τους Μαθηματικούς , πλαίσιο εξήγησης του κινήτρου που ώθησε τον Ευκλείδη να γράψει εκείνα τα τμήματα από τα Στοιχεία που, όπως υποστηρίζουν οι οπαδοί της εν λόγω ερμηνευτικής άποψης, δεν φαίνεται να έχουν κανένα ουσιαστικό γεωμετρικό περιεχόμενο. Και το πλαίσιο αυτό , υποστηρίζουν , δεν είναι άλλο από τον αλγεβρικό τρόπο του σκέπτεσθαι. Παραδείγματος χάριν, στο κείμενο του Ευκλείδη είναι διατυπωμένη η πρόταση με μορφή που θα μπορούσε να γραφεί συνοπτικά : Ορθ. (a, b+c+d)=Oρθ.(a, b)+ Oρθ. (a, c)+ Oρθ. (a, d) ως ισοδύναμη μαθηματικά με την a(b+c+d)=ab+ac+ad, εμπεριέχει την ιδέα της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση. Επίσης η πρόταση που είναι διατυπωμένη στα Στοιχεία με τη μορφή: T (a + b)= T (a)+ T (b)+ 2 Oρθ. (a, b), ως ισοδύναμη μαθηματικά με την ταυτότητα ( a+b)2 =a2+b2 +2ab, εμπεριέχει τη γνώση αυτής της αλγεβρικής ταυτότητας. Άλλα αποτελέσματα επίσης , με βάση τις τεχνικές της « γεωμετρικής άλγεβρας », να ερμηνεύονται ως γεωμετρικές μέθοδοι για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.
[3] Ως ιστορικό στοιχείο θα μπορούσε να θεωρηθεί η επιβίωση στην άλγεβρα όρων γεωμετρικής προέλευσης, π.χ. τετράγωνος, κύβος, δύναμις ,διτετράγωνος κ.ά. Οι ονομασίες αυτές, σύμφωνα με τον πρωτεργάτη της αλγεβρικής ερμηνείας των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών, H.G.Zeuthen φανερώνουν ότι η άλγεβρα, η οποία από την εποχή του F. Viete και μετά χρησιμοποιεί τον εγγράμματο συμβολισμό για να παραστήσει τα γενικά μεγέθη , χρησιμοποιούσε κατά το παρελθόν γεωμετρικό συμβολισμό.
Το 1975 δημοσιεύθηκε στο επιστημονικό περιοδικό Archice for History of Exact Sciences μια σαρωτική κριτική από τον ιστορικό των Μαθηματικών Sabetai Unguru εναντίον του συνόλου της καθιερωμένης αφήγησης της ιστορίας των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών που είχαν διαμορφώσει έως τότε οι σημαντικότεροι ιστορικοί των Μαθηματικών. Τα περισσότερα πυρά της επίθεσης του ο Unguru τα κατηύθυνε εναντίον της ιδέας περί «γεωμετρικής άλγεβρας» ιδέας την οποία κατήγγειλε ως σκέτη φαντασία, ως λογική και ιστορική αδυνατότητα ως ένα τερατώδες, υβριδικό, αντιφατικό δημιούργημα που κατασκευάστηκε από μαθηματικούς οι οποίοι δεν είχαν καμία αίσθηση της ιστορίας.. Αυτή η κατά μέτωπο επίθεση, όπως αναμενόταν, δεν έμεινε αναπάντητη. Προκάλεσε αμέσως τις αντιδράσεις, από τις σελίδες του ίδιου επιστημονικού περιοδικού, ενός επιφανούς εκπροσώπου της παραδοσιακής ιστοριογραφικής σχολής, B.L. van der Waerden και δύο διακεκριμένων μαθηματικών, του μαθηματικού του Princeton Andre Weil (1906-1998) και του H. Freudenthal (1905-1990). Ανταπάντησε ο Unguru με ένα δεύτερο άρθρο που δημοσιεύθηκε αυτή τη φορά στο επιστημονικό περιοδικό Isis. H ουσία, λοιπόν της διαμάχης βρίσκεται στις βαθύτερες μεθοδολογικές διαφορές που χωρίζουν την παραδοσιακή από τη νέα ιστοριογραφία. Και αφετηρία αυτών των διαφορών εντοπίζεται στο πώς αντιλαμβάνονται το αντικείμενο της ιστορίας των Μαθηματικών και το έργο του ιστορικού των Μαθηματικών οι εκπρόσωποι των δύο σχολών. «Η Ιστορία των Μαθηματικών», γράφει και πάλι ο Unguru, «είναι Ιστορία , όχι Μαθηματικά». Οι μαθηματικές και οι ιστορικές αφηγήσεις ,υποστηρίζει, είναι τελείως ασύμβατες μεταξύ τους.H ιστορία, πριν απ’ όλα ενδιαφέρεται κυρίως για το γεγονός υπό την ιδιότητα ως ιδιαίτερου γεγονότος για το συγκεκριμένο συμβάν, για την αλλαγή από ένα αναγνωρίσιμο, ατομικό χαρακτηριστικό. Η ιστορία δεν επιδιώκει να στριμώχνει τα γεγονότα, να τα ομαδοποιεί, να τα συνωστίζει κάτω από την ίδια επικεφαλίδα, αποστραγγίζοντάς τα από τις ατομικότητές τους. Αντίθετα, η ιστορία είναι προσπάθεια κατανόησης κάθε γεγονότος του παρελθόντος αυτοτελώς. Οπότε χώρος της ιστορίας είναι ο χώρος του ιδιοσυγκρασιακού.
[4]
Υπό αυτήν την έννοια, ο σκοπός του ιστορικού των Μαθηματικών δεν μπορεί να περιοριστεί στο να βλέπει τα Μαθηματικά του παρελθόντος απλώς και μόνον ως προαγγέλους των σύγχρονων Μαθηματικών, στο να διερευνά κάθε φορά ποιες σύγχρονες μαθηματικές ιδέες μπορεί να αναγνωρίσει στο ένα ή στο άλλο κείμενο του παρελθόντος. Η κύρια προσπάθεια του πρέπει να κατευθύνεται στο να κατανοεί τα μαθηματικά κείμενα του παρελθόντος ιστορικά, να λαμβάνει υπ’ όψιν του το ιστορικό και το πολιτισμικό πλαίσιο στο οποίο εντάσσονται, να προσπαθεί να ανασυγκροτεί, όσο αυτό είναι δυνατόν, τις αυθεντικές προθέσεις του κάθε ιστορικού προσώπου, να απορρίπτει τις ανιστορικές ερμηνείες, να αποκαλύπτει τι δεν θα μπορούσε να είχε στο νού του ο Α ή ο Β ιστορικός συγγραφέας όταν έγραψε το ένα ή το άλλο κείμενο, να δείχνει τελικά σε ποιόν βαθμό οι παρελθούσες ιδέες ήταν διαφορετικές από τις σύγχρονες. Αν πρόκειται να γράψει κανείς την ιστορία των Μαθηματικών, και όχι τα Μαθηματικά της ιστορίας, αυτός ο συγγραφέας οφείλει να προσέξει ώστε να μην υποκαταστήσει το ιδιοσυγκρασιακό με το νομοθετικό, δηλαδή, να μην πραγματευθεί τα Μαθηματικά του παρελθόντος σαν να μην είχαν τα
Μαθηματικά παρελθόν, πέραν των τετριμμένων διαφορών στην εξωτερική εμφάνιση ενός κατά βάσιν αναλλοίωτου σκληρού περιεχομένου. Όταν βρίσκεται αντιμέτωπος με ένα αρχαίο μαθηματικό κείμενο, ο σύγχρονος ερμηνευτής έχει να κάνει μια αρχική επιλογή: Κατ’ αρχάς μπορεί να ακολουθήσει τη μαθηματική προσέγγιση. Αυτή περιλαμβάνει δύο βήματα (1) να προσπαθήσει να ανακαλύψει πώς θα μπορούσε ο ίδιος να το χειριστεί - να λύσει το πρόβλημα, να αποδείξει την πρόταση, να εκτελέσει την κατασκευή – και κατόπιν (2) υπό το φως της απάντησής του στο βήμα (1) να επιχειρήσει να κατανοήσει την αρχαία πρακτική. Αυτή είναι η κατ’ εξοχήν μαθηματική προσέγγιση. Ωστόσο, ο σύγχρονος ερμηνευτής μπορεί να απορρίψει την προσφυγή σε σύγχρονες μεθόδους για την αποκρυπτογράφηση του κειμένου και να χρησιμοποιήσει μόνον αρχαίες μεθόδους που ήσαν προσιτές στον συγγραφέα του κειμένου. Αυτή είναι η ιστορική προσέγγιση. Το τελικό όφελος που θα προσκομίσει κάποιος από την ερμηνεία διαφέρει ανάλογα με την προσέγγιση που θα ακολουθήσει
[5].
Εδώ δεν πρόκειται για συνταγές, το πώς θα μαγειρευτεί καλύτερα ένα φαγητό με τα ίδια υλικά, αλλά για μια επιστημονική τεκμηρίωση μιας παρακαταθήκης σημαντικής που σημάδεψε εποχές και πολιτισμούς και δεν θα πάψει να χαρακτηρίζει την κουλτούρα και τις διαθέσεις λαών και ανθρώπων.
Έτσι λοιπόν για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά μπαίνει ένα θέμα ταξινόμησης μαθηματικών κειμένων, εκφράσεων, λύσεων, προτάσεων κατά εποχή και κατά πολιτισμό. Εδώ πρέπει να σταθούμε και να προβληματιστούμε κατά πόσο είναι ένας Μαθηματικός Ιστορικός αναλυτής ή ένας Ιστορικός Μαθηματικός αναλυτής.
[1] Γιάννης Χριστιανίδης- Δημήτρης Διαλέτης « Διαμάχες για την Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών» Εισαγωγή Σελ.2.
[2] Στο ίδιο Σελ 3

[3] Γιάννης Χριστιανίδης Δημήτρης Διαλέτης « Διαμάχες για την Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών» Εισαγωγή Σελ 6.
[4] Στο ίδιο Σελ 10
[5] Γιάννης Χριστιανίδης, Δημήτρης Διαλέτης «Διαμάχες για την Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών» Σελ 11

Δεν υπάρχουν σχόλια: